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无限魅力的“无穷大”(你难以想像的高等数学初步)

时间:2016-11-02 13:52 来源:未知 作者:木木

(文/南宁许兴华)

  前几天我去上数学课时,讲到文学的“形象思维”和数学“高度的抽象性”的区别,我用了这样的语言:“什么叫做形象思维呢?打个比方吧:有同学说,我昨晚作了一个梦,我梦见自己变成一只小鸟,在蓝天上飞翔...... ,这是每个人都可以想象得到的现象,我们简称为"形象思维"(如下图).

  

  但什么是数学的"高度的抽象性"呢?大家请看下图,我们来提两个问题:

  (1)若图1中的四边形ABCD是矩形,那么线段AB和线段DC上面的点是否“一样多”?

  这个问题不难,全班同学都异口同声地回答“是一样多的”!那好!我们再来看第二个问题:

  (2)上图2中四边形ABED是直角梯形,BC与CD垂直,那么 ,请问:

  线段AB和线段DE上面的点是否“一样多”?

  这时候,全班绝大多数同学就开始摇头了!也有一两个同学回答“还是一样多的!”

  我跟大家说:其实,在图2中,线段AB和线段DE上面的点是“一样多”的!很多同学马上反驳说“老师骗人!图2中AB上的点和CD上的点已经一样多了。线段DE显然比AB多了一段CE上的所有点,怎么还会一样?”

  我对大家说“我可以严格证明给大家看!”大家半信半疑的迷惑不解地看着我,面面相觑......下面,我们就来介绍这一问题。为了让大家好好理解这一问题,我们分几个小问题来解,然后,一个一个地解决问题。

  1.我们学习的集合可分为两大类:有限集和无限集。例如:集合A={1,2,3,4,5,6}是有限集,集合B={自然数}={0,1,2,3,......n,......}是无限集.

  2.集合元素个数的相等。对于有限集来说,这个问题非常简单。例如:集合A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,10,11,12},则我们称集合A和B的元素个数相同(相等)。但是对于无限集,就非常麻烦,而且经常会有一些非常有趣而又互相矛盾的东西。

  3.建立自然数集N到它的一个真子集M的一一对应的映射

  这是一个高等数学的"实变函数"课程中的典型问题,要用到集合的"势"的概念.

  其实,有限集的"势",就是元素的个数; 而对于无限集来说,它也有"哪一个无限集里的元素多"的比较.所以,针对无限集,元素个数的多少,就要用到"势"的概念.

  如果两个集合A,B的势相等,我们就说"这两个无限集里的元素个数是“一样多的"

  那么如何说明"两个无限集里的元素个数是”一样多的"呢?

  这个问题对于有限集,很简单,分别数一下两个元素的个数,如果个数相等即可.但是当它们是无限集,你就没有办法数了.因为你数来数去它们都是无穷多个,永远也数不完.

  这时,"实变函数"论里,就提出了判断两个无限集势大小的方法,就是利用了"一一对应(或者叫双射,既满又单,也叫做一一映射),也就是说,如果两个无限集,找到一个映射f,而且f是一个双射,那么这两个集合就等势.

  自然数集N={0,1,2,3,......,n,......}和每个自然数的平方组成的集合M={0,1,4,9,......,n^2,......}是一一对应的:

  即每个自然数n对应着唯一的一个平方数n^2;反之,每个平方数n^2也对应着唯一的一个自然数n.因此,集合M与集合N等势。

  更有有趣的是:自然数集N与整数集Z等势!也就是说,自然数集N与整数集Z的元素个数是“一样多的”(详见下图所示,我们可以这样建立N到M的一个一一映射)

  4.直角梯形的上底和下底两条边上的点集"等势"?

  这是文章开头我们提到的问题。(如图2)如果我们能建立从线段AB的点到线段DE上的点的一个一一映射,那么我们就证明了这两个集合“等势”,即AB上的点和DE上的点是“一样多的”。延长EB与DA的延长线交于F(如图3),过点F任意作射线FH,与AB交于P,与DE交于H,则线段AB上每一点P对应着线段DE上唯一的一点H;反之,线段DE上的任一点也对应着唯一的一点P。这样,我们就发现:原来图3中的AB上的点集与DE上的点集是等势的。

  我们换一个有趣的说法,那就是:若线段AB的长是1厘米,而DE的长度是从北京天安门到美国首都华盛顿的距离,那么AB上的点集与CD上的点集是“一样多的!”奇妙吗?

  

  5.区间[0,1]上的点集与实数集R等势

  我们的问题,其实就是要找[0,1]到实数R的一一映射f,即如果这个双射f是存在的,那么[0,1]与R等势.

  事实上,可以告诉大家:[0,1]与R是等势的.即这样的双射f存在.

  为什么这样说呢,现在就告诉大家两种方法:

  先讲方法一:

  第一步,你要证明(0,1)与R等势

  第二步,你要证明[0,1]与(0,1)等势

  这样,由“等势”关系的传递性,知[0,1]与R等势

  第一步,(0,1)与R等势,这非常好证明。首先,在上面的图3中我们已经证明了这样的结论:任意两个区间[a,b]与[c,d]上的点集等势(这里a<b且c<d)。

  上图建立的一一映射告诉我们:(0,1)与R等势。现在我们只要证明(0,1)与[0,1]等势。

  即第二步,证明[0,1]与(0,1)等势。

  这是一个一一映射,这样我们就证明了[0,1]与(0,1)等势,由等势的传递性知:[0,1]与R等势。

  【方法2】证明[0,1]与R等势。因为【0,1】的长度为1,我们可以构造一个半圆,使半圆的周长为1,我们按如图4的方法建立一个映射:让半圆的直径MN平行于直线BF,过半圆的圆心O任作一射线OD,与半圆交于C,与直线交于D,则有:

  半圆上的每一点对应着直线BF上唯一的一点D;反之,直线上任一点D对应着半圆上唯一的一点C。这说明【0,1】与R等势!这是多么的奇妙!

  一直以来,无穷数的性质令人惊叹,着迷!几个世纪以来,它吸引了无数聪明智慧之士探索和钻研其中的奥秘。可以追溯到公元前5世纪芝诺提出的四个关于连续与离散的问题??二分说,阿喀琉斯与乌龟,飞矢不动,竞技场;如今,无限填充的曲线,不规则形状的产生,无穷无尽的时间,空间有限与无限等所有无限概念都来源于此。无穷数给人们提供了无穷的空间去发挥自己的创造力和想象力......

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